선형대수학 - 01. Vector

본 글은 edwith [칸아카데미] 모두를 위한 선형대수학를 참고하여 작성하였습니다.

선형 대수학 - 01. 벡터

선형 대수학

• 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식을 연구하는 대수학의 한 분야

벡터

• 벡터 공간의 원소

  벡터 공간이란?
  선행 대수학에서 원소를 서로 더하거나,
  주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간

• 방향과 속도를 갖는 값
• 속도만 갖고 방향을 갖지 않는 값은 스칼라
• 위치와 상관없이, 방향과 속도가 같으면 동일한 벡터
• 변수로 사용할 경우 알파벳 위에 화살표를 표현함 $\vec{v} = (x, y) = \left[\begin{array}{r} x
  y \end{array}\right] $

실좌표 공간

• $\mathbb{R}^n$ 또는 $\mathbf{R}^n$은 $n$차원 실수 좌표 공간을 나타냄
• $\mathbb{R}^n$은 $n$의 값을 갖는 튜플

  튜플이란?
  순서가 정해진 셀 수 있는 값들을 열거한 값으로,
  $n$개의 요소를 가지면 $n$-튜플이라 한다.

• $\vec{x} = (0, 1)$ 실수 값을 갖는 다면 $\vec{x} \in \mathbb{R^2}$
• $\vec{x} = (-i,i)$ 허수의 값을 갖는 다면, $\vec{x} \notin \mathbb{R^2}$

대수와 그래프를 이용한 벡터의 덧셈

$\vec{a} , \vec{b} \in\mathbb{R^2}$ 이고,
$\vec{a} = (6, -2), \vec{b} = (-4, 4)$ 일 때
$\vec{a} + \vec{b} = (6 + (-4), (-2) + 4) = (2, 2)$

벡터와 스칼라의 곱셈

• 벡터에 스칼라 곱을 하면 각 원소에 스칼라 값을 곱한 값과 같다.
  $\vec{a} \in\mathbb{R^2}$ 이고,
  $\vec{a} = (2, 1)$
  $3\vec{a} = (32, 31) = (6, 3)$
• 벡터에 양수 스칼라곱은 방향을 유지한 채 크기만 스칼라배 해준다.
• 벡터에 음수 스칼라곱은 벡터의 정반대 방향으로 스칼라배 해준다.

대수와 그래프를 이용한 벡터의 뺄셈

$\vec{a} , \vec{b} \in\mathbb{R^2}$ 이고,
$\vec{a} = (3, -2), \vec{b} = (1, 2)$ 일 때
$\vec{a} - \vec{b} = (3 - 1, (-2) - 2) = (2, -4)$

• 벡터1 - 벡터2 를 하게 되면, 각 벡터의 끝점을 이은 선분이 된다.
• 두 벡터의 뺼셈의 방향은 벡터1의 끝점을 향하게 한다.

단위 벡터

• 길이가 1인 벡터
• 벡터 $v$와 방향이 같은 벡터는 $\hat{v}$로서 표기한다. $\vec{v} \in \mathbb{R}^2$에서
  $\vec{v} = (2, 3)$ 이라 할 때,
  $\vec{v}$는 $x$ 축으로 2, $y$ 축으로 3만큼 갔다고 할 수 있다.
  이때, 길이가 1인 단위 벡터가 있다고 하자.
  $\hat{i}$는 $x$ 축으로 1만큼 $y$ 축으로는 0만큼
  $\hat{j}$는 $x$ 축으로 0만큼 $y$ 축으로는 1만큼
  즉,
  $\hat{i} = (1, 0) \ \hat{j} = (0, 1)$
  와 같이 표기하면, $\vec{v}$ 는 위의 단위 벡터의 스칼라 배를 한 단위 벡터의 합으로 표현 할 수 있다.
  $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$

직선의 매개변수 표현

• 매개변수, 파라미터, 모수는 함수의 특정한 성질을 나타내는 변수이다.
• $\theta$로 표시한다. $\vec{v} \in \mathbb{R}^2$이고,
  ${c\vec{v} | c \in \mathbb{R}}$ 일 때,
  영점을 기준으로 $\vec{v}$에 $c$를 무한하게 곱하게 되면,
  하나의 직선이 나오게 된다.
  이를, $\vec{x} \in \mathbb{R}^2$인
  $\vec{x}$ 만큼 이동하게 되면,
  위의 값을 $y = ax + b$로 일반화 할 수 있다.
  이를 두 개의 벡터를 이용해 일반화 하게 되면,
  $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^2$ 이고,
  ${t|t \in \mathbb{R} }$ 일 때
  $\vec{a} - \vec{b}$를 $t$ 배 한 직선을 원 점으로 옮기면,
  이를 이와 같이 일반화 할 수 있다.
  $L = {\vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a}) | t \in \mathbb{R}^2}$ 또는
  $L = {\vec{b} + t(\vec{b} - \vec{a}) | t \in \mathbb{R}^2}$
  여기서 특정 위치의 $x, y$의 좌표를 구하려면,
  각 원소들의 합들로 나타낼 수 있다.