Hodurie’s Blog

선형대수학 - 01. Vector

2020-08-28T00:00:00+09:00

본 글은 edwith [칸아카데미] 모두를 위한 선형대수학를 참고하여 작성하였습니다.

선형 대수학 - 01. 벡터

선형 대수학

벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식을 연구하는 대수학의 한 분야

벡터

벡터 공간의 원소

벡터 공간이란?
선행 대수학에서 원소를 서로 더하거나,
주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간
방향과 속도를 갖는 값
속도만 갖고 방향을 갖지 않는 값은 스칼라
위치와 상관없이, 방향과 속도가 같으면 동일한 벡터
변수로 사용할 경우 알파벳 위에 화살표를 표현함 $\vec{v} = (x, y) = \left[\begin{array}{r} x
y \end{array}\right] $

실좌표 공간

$\mathbb{R}^n$ 또는 $\mathbf{R}^n$은 $n$차원 실수 좌표 공간을 나타냄
$\mathbb{R}^n$은 $n$의 값을 갖는 튜플

튜플이란?
순서가 정해진 셀 수 있는 값들을 열거한 값으로,
$n$개의 요소를 가지면 $n$-튜플이라 한다.
$\vec{x} = (0, 1)$ 실수 값을 갖는 다면 $\vec{x} \in \mathbb{R^2}$
$\vec{x} = (-i,i)$ 허수의 값을 갖는 다면, $\vec{x} \notin \mathbb{R^2}$

대수와 그래프를 이용한 벡터의 덧셈

$\vec{a} , \vec{b} \in\mathbb{R^2}$ 이고,
$\vec{a} = (6, -2), \vec{b} = (-4, 4)$ 일 때
$\vec{a} + \vec{b} = (6 + (-4), (-2) + 4) = (2, 2)$

벡터와 스칼라의 곱셈

벡터에 스칼라 곱을 하면 각 원소에 스칼라 값을 곱한 값과 같다.
$\vec{a} \in\mathbb{R^2}$ 이고,
$\vec{a} = (2, 1)$
$3\vec{a} = (32, 31) = (6, 3)$
벡터에 양수 스칼라곱은 방향을 유지한 채 크기만 스칼라배 해준다.
벡터에 음수 스칼라곱은 벡터의 정반대 방향으로 스칼라배 해준다.

대수와 그래프를 이용한 벡터의 뺄셈

$\vec{a} , \vec{b} \in\mathbb{R^2}$ 이고,
$\vec{a} = (3, -2), \vec{b} = (1, 2)$ 일 때
$\vec{a} - \vec{b} = (3 - 1, (-2) - 2) = (2, -4)$

벡터1 - 벡터2 를 하게 되면, 각 벡터의 끝점을 이은 선분이 된다.
두 벡터의 뺼셈의 방향은 벡터1의 끝점을 향하게 한다.

단위 벡터

길이가 1인 벡터
벡터 $v$와 방향이 같은 벡터는 $\hat{v}$로서 표기한다. $\vec{v} \in \mathbb{R}^2$에서
$\vec{v} = (2, 3)$ 이라 할 때,
$\vec{v}$는 $x$ 축으로 2, $y$ 축으로 3만큼 갔다고 할 수 있다.
이때, 길이가 1인 단위 벡터가 있다고 하자.
$\hat{i}$는 $x$ 축으로 1만큼 $y$ 축으로는 0만큼
$\hat{j}$는 $x$ 축으로 0만큼 $y$ 축으로는 1만큼
즉,
$\hat{i} = (1, 0) \ \hat{j} = (0, 1)$
와 같이 표기하면, $\vec{v}$ 는 위의 단위 벡터의 스칼라 배를 한 단위 벡터의 합으로 표현 할 수 있다.
$\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$

직선의 매개변수 표현

매개변수, 파라미터, 모수는 함수의 특정한 성질을 나타내는 변수이다.
$\theta$로 표시한다. $\vec{v} \in \mathbb{R}^2$이고,
${c\vec{v} | c \in \mathbb{R}}$ 일 때,
영점을 기준으로 $\vec{v}$에 $c$를 무한하게 곱하게 되면,
하나의 직선이 나오게 된다.
이를, $\vec{x} \in \mathbb{R}^2$인
$\vec{x}$ 만큼 이동하게 되면,
위의 값을 $y = ax + b$로 일반화 할 수 있다.
이를 두 개의 벡터를 이용해 일반화 하게 되면,
$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^2$ 이고,
${t|t \in \mathbb{R} }$ 일 때
$\vec{a} - \vec{b}$를 $t$ 배 한 직선을 원 점으로 옮기면,
이를 이와 같이 일반화 할 수 있다.
$L = {\vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a}) | t \in \mathbb{R}^2}$ 또는
$L = {\vec{b} + t(\vec{b} - \vec{a}) | t \in \mathbb{R}^2}$
여기서 특정 위치의 $x, y$의 좌표를 구하려면,
각 원소들의 합들로 나타낼 수 있다.

Linked List 01

2020-06-14T00:00:00+09:00

본 글은 엔지니어대한민국를 참고하여 작성하였습니다.

Linked List

Linked List를 이해하기 위해선 일단 Array를 알아야한다.

Array

변수가 선언 되고 나서 크기 변경 불가
메모리 상에서 물리적으로 연결 돼 있음
저장 된 순서에 따라 값을 추출 할 수 있음

Linked List

변수가 선언 되고 나서 크기 변경 가능
메모리 상에서 물리적으로 연결 돼 있지 않음
하나의 list가 값과 다음 list의 주소를 저장하고 있음

Linked List 단/양 방향

단방향

다음 list의 주소값 보유

양방향

이전의 list의 주소값과 다음 list의 주소값 보유
list 삽입 시 : 이전 list의 주소값과 다음 list의 주소값 보유
list 삭제 시 : 다음 list의 주소값을 이전 list의 주소값에 할당, 이전 list의 주소값을 다음 list의 할당

구현 in Java (단방향)

class Node {
	int data;
	Node next = null;

	Node(int d) {
		this.data = d;
	}

	void append(int d) {
		Node end = new Node(d);
		Node n = this;
		while (n.next != null) {
			n = n.next;
		}
		n.next = end;
	}

	void delete(int d) {
		Node n = this;
		while (n.next != null) {
			if (n.next.data == d) {
				n.next = n.next.next;
			} else {
				n = n.next;
			}
		}
	}

	void retrieve() {
		Node n = this;
		while (n.next != null) {
			System.out.print(n.data + " -> ");
			n = n.next;
		}
		System.out.println(n.data);
	}
}

public class SinglyLinkedList {
	public static void main(String[] args) {
		Node head = new Node(1);
		head.append(2);
		head.append(3);
		head.append(4);
		head.retrieve();
	}
}

public class SinglyLinkedList {
	public static void main(String[] args) {
		Node head = new Node(1);
		head.append(2);
		head.append(3);
		head.append(4);
		head.retrieve();
        head.delete(2);
        head.retrieve();
	}
}

Softmax Regression(Multinomial Logistic Regression) 01

2020-05-21T00:00:00+09:00

본 글은 모두를 위한 머신러닝/딥러닝 강의를 참고하여 작성하였습니다.

ML lec 6-1 - Softmax Regression

이전에는 Binary classification에 대해 다뤘다.

오늘은 Multinomial classification에 대해 알아보겠다.

Multinomial Classification

Multinomial Classification은 세 개 이상의 값을 분류하는 방법이다.

이를 설명하기 위해선 binary classification의 이해를 바탕으로 해야한다.

예를들어,
$A, B, C$란 값이 존재할 때,
하나만 잘 분류하는 선분이 있다고 가정하자.
그럼 각 선분은 아래와 같이 정의 할 수 있다.

첫 번째 선분은 $A$와 아닌것
두 번째 선분은 $B$와 아닌것
세 번째 선분은 $C$와 아닌것

위 선분을 가지고 값을 분류할 수 있는 분류기를 만들면,
$x$값이 주어졌을 때 어떤 값인지에 대해 $w$인 가중치를 주고,
이를 분별하는 함수(sigmoid)에 통과시킨다.

sigmoid : 이항 분류떄 사용하는 함수

함수를 통과한 값은 특정 $y$ 값을 얻는 데
이를 $\hat{y}$로써 표현한다.

위에서 만들어진 식으로부터 $w$를 추출한다.

첫 번째 식에서 추출한 $w$ 값을
$w$ 행렬의 첫 번째 행으로 담고,

두 번째 식에서 추출한 $w$ 값을
$w$ 행렬의 두 번째 행 으로 담고,

첫 번째 식에서 추출한 $w$ 값을
$w$ 행렬의 세 번째 행으로 담는다.

두 개의 행렬이 만들어지면,
$W \cdot X $와 같이 행렬 곱셈을 이용한다.

계산을 진행하면, 각각 $A, B, C$을 분류하는 $y$값이 구해진다.

즉, 이항 분류를 통해 각 값을 분류할 수 있는 $\hat{y}$을 찾을 수 있다.
또한, 결과 값을 행렬로 표현하면,
$H(X) = WX$로 이전에 설정한 가설로써 표현 할 수 있다.

Logistic(Regression) Classification TensorFlow 구현

2020-05-20T00:00:00+09:00

본 글은 모두를 위한 머신러닝/딥러닝 강의를 참고하여 작성하였습니다.
소스 코드는 DeepLearningZeroToAll를 참고 하여 작성하였습니다.

ML lab 05: TensorFlow로 Logistic Classification의 구현하기

지난 시간에 다뤘던 로지스틱 회귀의 가정과 비용함수에 대해 다뤄보기로 하겠습니다.

아래 식은 가정과 비용함수 입니다.

\[H(X) = \frac{1}{1+e^{-W^TX} }\] \[\text{cost}(W) = -\frac{1}{m}\sum ylog(H(x)) + (1-y)log(1-H(x))\] \[W := W - \alpha \frac{\partial}{\partial{W} }\]

import tensorflow as tf

Training Data

x_data = [[1, 2],
          [2, 3],
          [3, 1],
          [4, 3],
          [5, 3],
          [6, 2]]
y_data = [[0],
          [0],
          [0],
          [1],
          [1],
          [1]]

tf.model = tf.keras.Sequential()
tf.model.add(tf.keras.layers.Dense(units = 1, input_dim = 2))

tf.model.add(tf.keras.layers.Activation('sigmoid'))

$ H(X) $의 부분이 sigmoid의 형태이므로,
활성화 함수 부분에 sigmoid를 넣어준다.

tf.model.compile(loss = 'binary_crossentropy', optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(lr=0.01), metrics = ['accuracy'])
tf.model.summary()

Model: "sequential"
_________________________________________________________________
Layer (type)                 Output Shape              Param #   
=================================================================
dense (Dense)                (None, 1)                 3         
_________________________________________________________________
activation (Activation)      (None, 1)                 0         
=================================================================
Total params: 3
Trainable params: 3
Non-trainable params: 0
_________________________________________________________________

history = tf.model.fit(x_data, y_data, epochs = 5000)

print("Accuracy: ", history.history['accuracy'][-1])

Accuracy:  1.0

Logistic(Regression) Classification 02

2020-05-19T00:00:00+09:00

본 글은 모두를 위한 머신러닝/딥러닝 강의를 참고하여 작성하였습니다.

ML lec 5-2 Logistic Regression의 cost 함수 설명

Linear Cost Function

먼저, 이전 글에서 설명한
로지스틱 회귀의 가설은

\[H(X) = \frac{1}{1+e^{-W^TX} }\]

이다.

이는 $y$의 값을 0과 1사이의 값으로 변환 시켜주는 식이다.

이때, 우리가 $W$를 $x$축에 두고,
선형 회귀식의 $Cost(W)$을 $y$축에 두면
약과의 겉 테두리 부분처럼
각 지점에 굴곡이 있는 아래로 볼록한 그래프가 만들어진다.

이를 이용해서 Gradient Descent 기법을 사용하게되면,
시작점이 어디냐에 따라 최적의 값이 달라지게 된다.

이를 방지하고자,
우리는 비용함수를 새롭게 정의해야 한다.

Logistic Cost Function

$\mathbf{cost}(W) = \frac{1}{m}\sum \mathbf{c}(H(x), y)$

\[\text{c}(H(x),y) = \begin{cases} -log(H(x)) & y = 1\\ -log(1-H(x)) & y = 0 \end{cases}\]

첫 번째로,
가설에 사용된 $e$에 대응되는 값이
$log$ 값이라는 점

두 번째로,
$g(z) = -log(z)$가 있다고 가정할 시,
$z$의 값이 거의 동일하면 $g(z)$는 0의 가까운 값을 갖고
$z$의 값이 일치하지 않으면 $g(z)$는 무한대에 가까운 값은 갖는 점

Cost Function 재표현

위와 같은 식으로 표현했을 때,
식이 복잡하게 느껴질 수 있다.

이를 간편하게 하나의 식으로 줄일 수 있다.

\[\text{c}(H(x),y) = -ylog(H(x)) - (1-y)log(1-H(x))\]

$y$의 값에 1을 넣게 되면,
뒤의 식이 사라져
$-log(H(x))$의 식만 살아나고

$y$의 값에 0을 넣게 되면,
앞의 식이 사라져
$-log(1- H(x))$의 식만 살아난다.

쉽게 배우는 Java 알고리즘 입문

2020-05-18T00:00:00+09:00

본 글은 쉽게 배우는 Java 알고리즘 입문 강의를 바탕으로 작성하였습니다.
소스 코드는 VisualAcademy를 참고 하여 작성하였습니다.

알고리즘(Algorithm)과 절차 지향 프로그래밍

알고리즘

프로그램의 가장 작은 단위는
세 개의 단계를 거친다.

입력 : 자료 구조에 담당하는 영역
처리 : 알고리즘 처리 영역
출력 - UI가 담당하는 영역

여기서 우리가 다룰 부분은 처리 부분이다.

그렇다면, 알고리즘이란 무엇일까?

알고리즘이란,
프로그램 개발에 있어서 필요한 문제를 해결하는 방법을 체계적으로 정리하는 방법
즉, 문제 해결 능력 이다.

강의 에서 다룰 알고리즘

합계 알고리즘
개수 알고리즘
평균 알고리즘
최댓값 알고리즘
최솟값 알고리즘
근삿값 알고리즘
순위 알고리즘
정렬 알고리즘
검색 알고리즘
병합 알고리즘
최빈값 알고리즘
그룹 알고리즘

Logistic(Regression) Classification 01

2020-05-16T00:00:00+09:00

본 글은 모두를 위한 머신러닝/딥러닝 강의를 참고하여 작성하였습니다.

ML lec 5-1: Logistic Classification의 가설 함수 정의

Regression

Regression에서는 우리는 세 가지 가정을 한다.
첫 번째, 가정이다.

이 데이터는 선형적인 관계가 존재할 것인가?
다변수를 가지지고 있는 선형회귀 식이 존재할 것이다.

두 번째, Cost Function
주어진 가설을 바탕으로,
각각의 비용값들 계산

세 번째, Gradient Decent
위의 식을 바탕으로,
값을 최소화 시키는 $W$ 찾기

Classification

데이터를 특정 기준에 따라 분류하는 것

사용예,

스팸메일 분류(일반 메일 또는 스팸 메일)
시험 합격 여부(합격 또는 불합격)
암 종양 여부(음성 또는 양성)

이 장에서 다룰 내용은
0과 1의 값을 갖는
Binary Classification이다.

이때, 우리가 값을 분류하기 위해
선형 식을 이용한다고 해보자.

우리가 생각 할 수 있는 최선의 방법은
$y$ 값이 0.5 되는 지점과
기울기가 만나는 지점을 기점으로
$x$ 값을 나누는 것이다.

하지만, 여기서 문제가 발생한다.
기울기에 따라 0의 값이 1의 값으로 분류 될 수 있고,
반대의 경우도 생길 수 있다.

이런 문제점을 보완하고자 나온것이
Logistic Regression 이다.

Logistic Hypothesis

$H(X) = \frac{1}{1 + e^{-W^TX} }$

파일 데이터 로딩

2020-05-15T00:00:00+09:00

본 글은 모두를 위한 머신러닝/딥러닝 강의를 참고하여 작성하였습니다.
소스 코드는 DeepLearningZeroToAll를 참고 하여 작성하였습니다.

ML lab 04-2: TensorFlow로 파일에서 데이터 읽어오기

이번 시간에는 로컬상에 저장 돼 있는 파일을 읽는 방법에 대해 알아보겠습니다.

사용할 데이터는 data-01-test-score.csv입니다.

import numpy as np
import tensorflow as tf

xy = np.loadtxt('data-01-test-score.csv', delimiter = ',', dtype = np.float32)

파일의 형식에 따라 데이터를 다르게 구분합니다.
오늘 쓰일 데이터는 csv파일로 값의 구분을 ,을 통해 이뤄집니다.
이때, 어떤 구분자를 이용해 구분할 것인지를 정해주는 것이 delimiter 입니다.

x_data = xy[:, 0:-1]
y_data = xy[:, [-1]]

print(x_data, "\nx_data shape:", x_data.shape)
print(y_data, "\ny_data shape:", y_data.shape)

[[ 73.  80.  75.]
 [ 93.  88.  93.]
 [ 89.  91.  90.]
 [ 96.  98. 100.]
 [ 73.  66.  70.]
 [ 53.  46.  55.]
 [ 69.  74.  77.]
 [ 47.  56.  60.]
 [ 87.  79.  90.]
 [ 79.  70.  88.]
 [ 69.  70.  73.]
 [ 70.  65.  74.]
 [ 93.  95.  91.]
 [ 79.  80.  73.]
 [ 70.  73.  78.]
 [ 93.  89.  96.]
 [ 78.  75.  68.]
 [ 81.  90.  93.]
 [ 88.  92.  86.]
 [ 78.  83.  77.]
 [ 82.  86.  90.]
 [ 86.  82.  89.]
 [ 78.  83.  85.]
 [ 76.  83.  71.]
 [ 96.  93.  95.]] 
x_data shape: (25, 3)
[[152.]
 [185.]
 [180.]
 [196.]
 [142.]
 [101.]
 [149.]
 [115.]
 [175.]
 [164.]
 [141.]
 [141.]
 [184.]
 [152.]
 [148.]
 [192.]
 [147.]
 [183.]
 [177.]
 [159.]
 [177.]
 [175.]
 [175.]
 [149.]
 [192.]] 
y_data shape: (25, 1)

tf.model = tf.keras.Sequential()
tf.model.add(tf.keras.layers.Dense(units = 1, input_dim = 3, activation = 'linear'))
tf.model.summary()

Model: "sequential"
_________________________________________________________________
Layer (type)                 Output Shape              Param #   
=================================================================
dense (Dense)                (None, 1)                 4         
=================================================================
Total params: 4
Trainable params: 4
Non-trainable params: 0
_________________________________________________________________

tf.model.compile(loss = 'mse', optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(lr = 1e-5))
history = tf.model.fit(x_data, y_data, epochs = 2000)

print("Your score will be ", tf.model.predict([[100, 70, 101]]))
print("Other scores will be ", tf.model.predict([[60, 70, 110], [90, 100, 80]]))

Your score will be  [[185.7961]]
Other scores will be  [[186.12904]
 [174.52814]]

여러개의 입력(feature)의 Linear Regression TensorFlow 구현

2020-05-14T00:00:00+09:00

본 글은 모두를 위한 머신러닝/딥러닝 강의를 참고하여 작성하였습니다.
소스 코드는 DeepLearningZeroToAll를 참고 하여 작성하였습니다.

ML lab 04-1: multi-variable linear regression을 TensorFlow에서 구현하기

Hypothesis using matrix

여러개의 입력(feature)의 Linear Regression에서 다루었던 내용을 TensorFlow로 구현해 보겠습니다.

$x$ 변수의 개수를 세 개를 기준
여기서 사용할 가설과 수식은

\[H(x_1, x_2, x_3) = w_1x_1 + w_2x_2 + w_3x_3 + b\] \[\mathbf{cost}(W, b) = { {1} \over {m} }\sum_{i = 1}^m(H(x_{1i}, x_{2i}, x_{3i}) - y_i)^2\]

이와 같습니다.

import tensorflow as tf
import numpy as np

x_data = [[73., 80., 75.],
          [93., 88., 93.],
          [89., 91., 90.],
          [96., 98., 100.],
          [73., 66., 70.]]
y_data = [[152.],
          [185.],
          [180.],
          [196.],
          [142.]]

$X$는 5행 3열로,
5개의 값을 갖고 있는 세 개의 $x$로 구성 돼 있습니다.

tf.model = tf.keras.Sequential()

tf.model.add(tf.keras.layers.Dense(units = 1, input_dim = 3))
tf.model.add(tf.keras.layers.Activation('linear'))

모델의 경우 3개의 값을 입력받고
하나의 값을 출력하는 것인데
여기서의 의미는
길이가 5인 $x$ 벡터 세 개를 넣어
길이가 5인 $y$ 벡터를 하나 출력한다
입니다.

tf.model.compile(loss = 'mse', optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(lr = 1e-5))
tf.model.summary()

Model: "sequential"
_________________________________________________________________
Layer (type)                 Output Shape              Param #   
=================================================================
dense (Dense)                (None, 1)                 4         
_________________________________________________________________
activation (Activation)      (None, 1)                 0         
=================================================================
Total params: 4
Trainable params: 4
Non-trainable params: 0
_________________________________________________________________

history = tf.model.fit(x_data, y_data, epochs = 100)

y_predict = tf.model.predict(np.array([[72., 93., 90.]]))
print(y_predict)

[[165.74065]]

여러개의 입력(feature)의 Linear Regression

2020-05-13T00:00:00+09:00

본 글은 모두를 위한 머신러닝/딥러닝 강의를 참고하여 작성하였습니다.

ML lec 04 - multi-variable linear regression

지난 시간에는 변수가 하나인 선형회귀식에 대해 알아봤습니다.
오늘은 변수의 개수가 두 개 이상인 선형회귀식에 대해 알아보겠습니다.

Multi-Variable Linear Regression

위에서 언급했다시피 식을 이용해 $y$ 값을 예측할 때,
하나의 값이 아닌 여러 개의 값을 사용합니다.

여러 개의 값을 사용한다면,
이전에 설정했던 가설과 비용함수도 달라질까요?
질문의 답은 그렇다 입니다.

그렇다면, 변수의 개수에 따라 어떻게 변화했는지 알아보도록 하겠습니다.
먼저, $x$의 개수가 세 개라고 정한 후 진행하도록 하겠습니다.

기존 단순 선형회귀의 경우

\[H(x) = Wx + b\]

와 같이 표현했습니다.
하지만, 다중 선형회귀(다변수 선형회귀)는 $x$의 값이 많으므로,
$x$들에 대한 $w$를 따로따로 표현해 줘야 합니다.

\[H(x_1, x_2, x_3) = w_1x_1 + w_2x_2 + w_3x_3 + b\]

비용함수의 경우에도 달라진 $x$에 대해서 다르게 표현해 줘야 합니다.

\[\mathbf{cost}(W, b) = { {1} \over {m} }\sum_{i = 1}^m(H(x_{1i}, x_{2i}, x_{3i}) - y_i)^2\]

만약, $x$의 값이 세 개가 아닌 열 개, 백 개와 같이 많은 값을 갖게 된다면,
우리는 이를 표현하기가 매우 불편합니다.

이를 간단하게 표현할 수 있게 해주는 것이 바로
Matrix 입니다.

Matrix를 이용하면, 우리는 위의 식을 간단하게 표현할 수 있습니다.
가설의 식들은 $x$와 $w$의 곱으로 이루어져 있습니다.
이를 따로 분리해서 생각해보면
$x$ 벡터와 $w$벡터의 곱으로서 나타낼 수 있습니다.

두 개의 식을 곱해서 나타낸 Matrix로 식을 표현하면

\[H(x) = XW\]

와 같이 표현 할 수 있습니다.

이를 일반화 하면, 여러 $x$의 값을 가진 행렬과
$w$ 벡터의 곱으로 이를 표현 할 수 있습니다.

하지만, 여기서 주의할 점이 하나 있습니다.
바로 행렬들의 차원을 고려해 줘야 된다는 점입니다.
행렬의 곱은 행 곱하기 열을 통해 나타내며,
두 개의 행렬 중 앞 행렬의 열과 뒤 행렬의 행의 차원이 같아야 합니다.

예를들어,
$A$는 3행 4열 행열,
$B$는 4행 1열 행렬(벡터)
일 때, $A \cdot B$는 가능하지만, $B \cdot A$는 불가능 합니다.

또한, 곱이후에 만들어 지는 행렬은 앞 행렬의 행의 뒤 행렬의 열의 차원으로 만들어집니다.
위의 예를 갖고 말하면,
$A \cdot B$는 3행 1열의 행렬이 만들어 집니다.